Yo siempre he tenido la duda sobre eso:
Las ecuaciones diferenciales pertenecen al Analisis Lienal.
Transformaciones de un espacio lineal V a otro W,
T: V -> W
Pero... en el Analisi no lineal sale todo el follón de cálculo diferencial e integral. Aunque los espacioes han de ser n-dimensionales (¿Esto siempre ha de ser así? ¿En espacios de dimensión no finita se cumple el cálculo difertencial e integral corriente?)
¿Todas las ec. dif. pertenecen al Analisi Lineal? (no he visto todo el temario de ec. dif. ya que las tenemos en varias asignaturas partidas.)
A qué te refieres con que las ecuaciones diferenciales pertenecen al Análisis Lineal?
De qué transformación lineal estás hablando?
En general, aunque la diferencial sea una aplicación lineal, el estudio de las ecuaciones diferenciales dista mucho del estudio de los espacios vectoriales y las aplicaciones lineales. El espacio de las funciones diferenciables es, efectivamente, lineal, pero eso no sirve de mucho para analizar las ecuaciones diferenciales en sí. No sé si es que no acabo de entender tu pregunta...
Si a lo que te refieres es a la estructura lineal de los productos de la recta real, ésta sólo sirve para construir un producto escalar, a partir del cual se construye una distancia, que le dota de estructura de espacio métrico. La estructura de espacio métrico es muy importante para poder definir las derivadas, pero las distancias se pueden construir independientemente de la existencia de un producto escalar.
Si a lo que te refieres es a las ecuaciones lineales propiamente dichas, pues es un campo reducido de las ecuaciones diferenciales, que sirve para tratar problemas simples y para empezar a entender el mecanismo de resolución
Ten cuidado cuando hables de dimensión, ya que parece que te estás refiriendo a la dimensión vectorial, y ésta no es muy relevante en cuestiones de diferenciabilidad. La que importa es la dimensión de la variedad diferenciable, que es un concepto un poco más general. Cuando estudies variedades diferenciales o geometría diferencial, seguro que tratarás estos asuntos
Un último apunte, el Cálculo Integral y el Cálculo Diferencial son dos ramas muy distintas de las matemáticas, aunque gracias a ciertos teoremas nos parezca que están unidas
Autor