Cuando integras en camino cerrado, es 1 vuelta siempre no? Hay que parametrizar e integrar sobre el camino cerrado y aplicar fórmula no? No se si es eso lo que preguntas xD
Precisamente la fórmula integral de Cauchy sirve para evitar sustituir la parametrización y hacer la integral "de toda la vida". Pero claro, este tipo de artimañas sólo sirven si estamos tratando con funciones de variable compleja, con cierta regularidad (funciones holomorfas)
Para 7juanito xD sobre variable compleja
La fórmula integral de Cauchy.
Si usas el teorema de.. (1/k!)n(C,z0)*f^k(z0)=(1/2i*pi)Integral de camino de f(z)dz/(z-z0)^(k+1)
C es el camino cerrado,
n(C,z0) es el número de vueltas del camino cerrado. ¿Éste siempre da 1?
Es que me dan un contorno x=+-2 ; y=+-2i. Te dan cierta integral para solucionar, y bueno haces manipulaciones hasta obtener el z0. Luego aislas y mucltiplicas i2pi*(n(C,z0)*f^k(z0), y bueno me dice que es 1 el número de vueltas. ¿Si no te dicen nada supones que calculas la integral para una vuelta de ese camino no? El camino C te lo dan solo para cojer las z0 correctas que no esten fuera de dicho contorno no?
Lo siento porque por el foro es chungo escribir estas cosas.. pero supongo que sabrás a lo que me refiero xD
En un principio, el camino puede dar las vueltas que quiera alrededor de z0, para eso aparece el parámetro n(C,z0) en la fórmula. Pero depende del enunciado que te den, si te dan el camino parametrizado, sabrás cuántas vueltas da. Por ejemplo la parametrización e^(it) con t entre 0 y 2pi representa una circunferencia de radio 1 dando una vuelta alrededor del origen. Pero sin embargo, si nos dan la parametrización e^(2it) con t entre 0 y 2pi, estamos en el caso en el que la curva da dos vueltas alrededor del origen (aunque en este caso las imagenes de los caminos sean las mismas!!)
Es decir que la integral depende fuertemente de las vueltas que de el camino alrededor de z0. Pero si en el enunciado no te especifican ninguna parametrización y simplemente te ponen un dibujo o algo por el estilo, no te compliques y pon que da una vuelta.
Como bien dices, es importante que el punto z0 quede "encerrado" por el camino, ya que de no ser así, no obtendríamos mucha información.
Por cierto, en la fórmula de Cauchy general que has escrito, el exponente k de f no indica la k-ésima potencia sino la k-ésima derivada
Autor